Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}-x$（a∈R），若y=f（x）在區(qū)間[-2，-1]上是單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的最小值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵y=f（x）在區(qū)間[-2，-1]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴f′（x）≤0在區(qū)間[-2，-1]上恒成立，
即f′（x）=x²+2ax-1≤0，
即2ax≤1-x²，
即2a≥$\frac{1}{x}$-x，
設(shè)g（x）=$\frac{1}{x}$-x，
則g（x）在[-2，-1]上為減函數(shù)，
則函數(shù)的最大值為g（-2）=$-\frac{1}{2}$-（-2）=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
則2a≥$\frac{3}{2}$，得a≥$\frac{3}{4}$，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．