Question

17．已知f（x）是定義在R上且周期為6的奇函數(shù)，當x∈（0，3）時，f（x）=lg（2x²-x+m）．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上有且僅有5個零點（互不相同），則實數(shù)m的取值范圍是$（\frac{1}{8}，1]∪\{\frac{9}{8}\}$．

Answer 1

分析 由奇函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的周期性，可得0、±3是函數(shù)f（x）的零點，將函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的零點個數(shù)為5，轉(zhuǎn)化為當x∈（0，3）時，2x²-x+m＞0恒成立，且2x²-x+m=1在（0，3）有一解，由此構(gòu)造關(guān)于m的不等式組，解不等式組可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意知，f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
所以f（0）=0，即0是函數(shù)f（x）的零點，
因為f（x）是定義在R上且以6為周期的周期函數(shù)，
所以f（-3）=f（3），且f（-3）=-f（3），則f（-3）=f（3）=0，
即±3也是函數(shù)f（x）的零點，
因為函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的零點個數(shù)為5，
且當x∈（0，3）時，f（x）=lg（2x²-x+m）．
所以當x∈（0，3）時，2x²-x+m＞0恒成立，且2x²-x+m=1在（0，3）有一解，
即$\left\{\begin{array}{l}{1-8m＜0}\\{2•（\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{4}+m=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1-8m＜0}\\{m≤1}\\{2•{3}^{2}-3+m-1＞0}\end{array}\right.$，
解得$（\frac{1}{8}，1]∪\{\frac{9}{8}\}$．
故答案為：$（\frac{1}{8}，1]∪\{\frac{9}{8}\}$．

點評 本題考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)根的分布問題，難度比較大．