Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)為4，．

（1）求拋物線的方程；

（2） 設(shè)點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn)，的角平分線與軸垂直，求的面積最大時(shí)直線的方程．

 

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

試題分析：（1）由于點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且其縱坐標(biāo)為4，假設(shè)點(diǎn)，再通過，可得一個(gè)關(guān)于與的關(guān)系式，在結(jié)合拋物線方程即可求出．從而求得拋物線的方程．

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719271432693005/SYS201411171927361403173701_DA/SYS201411171927361403173701_DA.008.png">的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補(bǔ)，即的斜率互為相反數(shù)．所以假設(shè)直線PA，聯(lián)立拋物線方程即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，類比地求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．結(jié)合韋達(dá)定理，可以得到直線AB的斜率為定值-1．通過假設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立拋物線的方程，應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離，即可表示三角形的面積．再通過求最值即能到結(jié)論．

（1）設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719271432693005/SYS201411171927361403173701_DA/SYS201411171927361403173701_DA.005.png">，由拋物線的定義得，又，所以，

因此，解得，從而拋物線的方程為．

（2）由（1）知點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719271432693005/SYS201411171927361403173701_DA/SYS201411171927361403173701_DA.008.png">的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補(bǔ)，即的斜率互為相反數(shù)

設(shè)直線的斜率為，則，由題意，

把代入拋物線方程得，該方程的解為4、，

由韋達(dá)定理得，即，同理，

所以，

設(shè)，把代入拋物線方程得，

由題意，且，從而

又，所以，點(diǎn)到的距離，

因此，設(shè)，

則，

由知，所以在上為增函數(shù)，因此，

即面積的最大值為．

的面積取最大值時(shí)，所以直線的方程為．

考點(diǎn)：1．拋物線的性質(zhì)．2．函數(shù)的最值．3．等價(jià)變換．4．圓錐曲線與函數(shù)知識的交匯．