Question

【題目】已知圓的圓心為，點是圓內(nèi)一個定點，點是圓上任意一點，線段的重直平分線與半徑相交于點．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）給定點，若過點的直線與軌跡相交于兩點（均不同于點）．證明：直線與直線的斜率之積為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及橢圓的定義，即可得出動點的軌跡的方程；

（2）不過點，則斜率存在，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)而不解，利用韋達定理，將直線與直線的斜率之積表示出來并化簡，證得定值.

解：（1）如圖，由已知，圓心，半徑．

∵點在線段的垂直平分線上，則，又，

，又，

，則動點的軌跡是以為焦點，

長軸長的橢圓，從而，

故所求軌跡方程為．

（2）由已知，直線過點，且不過點，則斜率存在，

設(shè)，將其代入得

，則成立，

設(shè)，則，

顯然

設(shè)直線與直線的斜率分別為，則

，

即直線與直線的斜率之積為定值．