【題目】已知拋物線的頂點為平面直角坐標(biāo)系
的坐標(biāo)原點
,焦點為圓
的圓心
.經(jīng)過點
的直線
交拋物線
于
兩點,交圓
于
兩點,
在第一象限,
在第四象限.
(1)求拋物線的方程;
(2)是否存在直線使
是
與
的等差中項?若存在,求直線
的方程;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線E的方程為;(2)存在滿足要求的直線
或直線
.
【解析】試題分析:(1)先根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心,再根據(jù)拋物線性質(zhì)得p,即得拋物線的方程;(2)由題意得
,再根據(jù)條件得
.設(shè)直線方程,并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理以及弦長公式求
,解出斜率k.
試題解析:(1)∵圓F的方程為,
∴圓心F的坐標(biāo)為(2,0),半徑r=1.
根據(jù)題意設(shè)拋物線E的方程為,
∴,解得p=4.
∴拋物線E的方程為.
(2) ∵是
與
的等差中項,
∴.
∴.
討論:
若垂直于x軸,則
的方程為x=2,代入
,解得
.
此時|AD|=8,不滿足題意;
若不垂直于x軸,則設(shè)
的斜率為k(k≠0),此時
的方程為
,
由,得
.
設(shè),則
.
∵拋物線E的準(zhǔn)線方程為x=-2,
∴
∴,解得
.
當(dāng)時,
化為
.
∵,∴
有兩個不相等實數(shù)根.
∴滿足題意.
∴存在滿足要求的直線或直線
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司計劃投資A、B兩種金融產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,A產(chǎn)品的利潤與投資量成正比例,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資量的算術(shù)平方根成正比例,其關(guān)系如圖2(注:利潤與投資量的單位:萬元).
(1)分別將A、B兩產(chǎn)品的利潤表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該公司已有10萬元資金,并全部投入A、B兩種產(chǎn)品中,問:怎樣分配這10萬元投資,才能使公司獲得最大利潤?其最大利潤為多少萬元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近年來“雙十一”已成為中國電子商務(wù)行業(yè)的年度盛事,并且逐漸影響到國際電子商務(wù)行業(yè).某商家為了準(zhǔn)備2018年雙十一的廣告策略,隨機(jī)調(diào)查1000名淘寶客戶在2017年雙十一前后10天內(nèi)網(wǎng)購所花時間,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,這10天網(wǎng)購所花的時間近似服從
,其中
用樣本平均值代替,
.
(Ⅰ)計算樣本的平均值,并利用該正態(tài)分布求
.
(Ⅱ)利用由樣本統(tǒng)計獲得的正態(tài)分布估計整體,將這10天網(wǎng)購所花時間在小時內(nèi)的人定義為目標(biāo)客戶,對目標(biāo)客戶發(fā)送廣告提醒.現(xiàn)若隨機(jī)抽取10000名淘寶客戶,記
為這10000人中目標(biāo)客戶的人數(shù).
(i)求;
(ii)問:10000人中目標(biāo)客戶的人數(shù)為何值的概率最大?
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布
,則
,
,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,點D,E分別在棱PB,PC上,且DE∥BC.
(1)求證:BC⊥平面PAC;
(2)當(dāng)D為PB的中點時,求AD與平面PAC所成的角的正弦值;
(3)是否存在點E,使得二面角A-DE-P為直二面角?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點分別是正方體
的棱
的中點,如圖所示,則下列命題中的真命題是________(寫出所有真命題的編號).
①以正方體的頂點為頂點的三棱錐的四個面中最多只有三個面是直角三角形;②點在直線
上運動時,總有
;③點
在直線
上運動時,三棱錐
的體積的定值;④若點
是正方體的面
內(nèi)的一動點,且
到點
和
距離相等,則點
的軌跡是一條線段.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
,(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點
為極點,
軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求曲線的普通方程和曲線
的普通方程;
(2)若分別為曲線
上的動點,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)市場調(diào)查,某超市的一種商品在過去的一個月內(nèi)(以30天計算),銷售價格與時間(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足
,銷售量
與時間(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足
.
(1)試寫出該商品日銷售金額關(guān)于時間
的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求該商品的日銷售金額的最大值與最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù),求k 的值;
(2)求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值;
(3)若方程f(x)=0 有且僅有一個根,求實數(shù)k 的取值范圍.
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