Question

8．在如圖所示的△ABC中，內角A，B，C所對的邊的長分別為a，b，c，已知a=c，且滿足$cosC+（{cosA-\sqrt{3}sinA}）cosB=0$，若點O是△ABC外一點，且OA=2OB=4，∠AOB=θ，則四邊形OACB面積的最大值為（　�。�

• A． $4+4\sqrt{3}$
• B． $5+4\sqrt{3}$
• C． 12
• D． $8+5\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用余弦定理求出c，將$cosC+（{cosA-\sqrt{3}sinA}）cosB=0$進行化簡解出B，代入面積公式得到關于θ的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質求出最大值．

解答 解：在△AOB中，S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OBsinθ=4sinθ，
由余弦定理得c²=OA²+OB²-2OA•OB•cosθ=20-16cosθ，
∵a=c，∴A=C，
∵$cosC+（{cosA-\sqrt{3}sinA}）cosB=0$，
∴-cos（A+B）+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0，
化簡得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB，解得B=60°．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$c²sinB=5$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$cosθ，
∴S_{四邊形OACB}=S_△AOB+S_△ABC=4sinθ-4$\sqrt{3}$cosθ+5$\sqrt{3}$=8sin（θ-$\frac{π}{3}$）+5$\sqrt{3}$．
∴當sin（θ-$\frac{π}{3}$）=1時，四邊形OACB面積取得最大值8+5$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換及性質，求出B的大小得出面積關于θ的關系式是關鍵．