Question

已知拋物線x²=2py的焦點與雙曲線2y²-2x²=1的一個焦點重合，若過該拋物線上的一點B的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于

1

2

，求B縱坐標．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線的焦點，即為拋物線的焦點，進而得到拋物線方程，再由導數的幾何意義，求出導數，求出切線的斜率，求出切線方程，分別得到與x，y軸的交點，運用三角形的面積公式，解方程即可得到B的縱坐標．

解答： 解：雙曲線2y²-2x²=1即

y2

1 2

-

x2

1 2

=1的焦點為（0，±1），
拋物線x²=2py的焦點為（0，

p

2

），
則

p

2

=±1，即有p=±2．
則拋物線方程為x²=±4y，
若為x²=4y，則設B（m，

m2

4

），
由y′=

1

2

x，則切線的斜率為k=

1

2

m，
切線方程為y-

1

4

m²=

1

2

m（x-m），
令x=0可得y=-

1

4

m²，令y=0，則x=

1

2

m，
則圍成的三角形的面積為

1

2

，可得

1

2

•|

1

2

m|•|-

1

4

m²|=

1

2

，
解得m=±2，
則B的縱坐標為1；
若拋物線方程為x²=-4y，
同樣方法，可得B的縱坐標為-1．

點評：本題考查拋物線的方程的運用，考查導數的運用：求切線方程，考查三角形的面積公式，考查運算能力，屬于基礎題．