Question

過拋物線x²=2y上兩點(diǎn)A（-1，）、B（2，2）分別作拋物線的切線，兩條切線交于點(diǎn)M．
（1）求證：∠BAM=∠BMA；
（2）記過點(diǎn)A、B且中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線為C，F(xiàn)₁、F₂為C的兩個(gè)焦點(diǎn)，B₁、B₂為C的虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)，過點(diǎn)B₂作直線PQ分別交C的兩支于P、Q，當(dāng)∈（0，4]時(shí)，求直線PQ的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵y=x²，
∴y'=x，
切于點(diǎn)A（-1，）的切線方程為y-=-（x+1），
切于點(diǎn)B（2，2）的切線方程為y-2=2（x-2），
聯(lián)立解得M（，-1），
∵|BA|=|BM|，
∴∠BAM=∠BMA．
（2）設(shè)雙曲線方程為mx²-ny²=1，
由題意，有m-n=1且4m-4n=1，
解得m=，n=1，
∴雙曲線方程為x²-y²=1，
不妨設(shè)B₁（0，1），B₂（0，-1），
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴=（-x₁，1-y₁），=（-x₂，1-y₂），
∴=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂∈（0，4]．
設(shè)直線PQ的方程為y=kx-1（k必存在），
由，
得（-k²）x²+2kx-2=0
△=4k²+8（-k²）＞0
x₁+x₂=，x₁x₂=
=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂
=x₁x₂+1-k（x₁+x₂）+2+k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1
將x₁+x₂=，x₁x₂=代入，
得=
=
=．
∴=∈（0，4]，
即0＜≤4，
∴，
由①得，或，
由②得k²≤1，或，
故k²≤1，或
解得k∈（-∞，-）∪[-1，1]∪（）．
分析：（1）由y=x²，知y'=x，切于點(diǎn)A（-1，）的切線方程為y-=-（x+1），切于點(diǎn)B（2，2）的切線方程為y-2=2（x-2），聯(lián)立解得M（，-1），由|BA|=|BM|，能夠證明∠BAM=∠BMA．
（2）設(shè)雙曲線方程為mx²-ny²=1，由題意，知m-n=1且4m-4n=1，故m=，n=1，雙曲線方程為x²-y²=1．設(shè)B₁（0，1），B₂（0，-1），設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），故=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂∈（0，4]，設(shè)直線PQ的方程為y=kx-1（k必存在），再由根的判別式和韋達(dá)定理能求出直線PQ的斜率k的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力和論證推導(dǎo)能力，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算量大，容易失誤．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的合理運(yùn)用．