Question

11．在△ABC中，角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①以$\frac{1}{a}，\;\frac{1}，\;\frac{1}{c}$為邊長(zhǎng)的三角形一定存在；
②以$\sqrt{a}，\;\sqrt，\;\sqrt{c}$為邊長(zhǎng)的三角形一定存在；
③以a²，b²，c²為邊長(zhǎng)的三角形一定存在；
④以$\frac{a+b}{2}，\;\frac{b+c}{2}，\;\frac{c+a}{2}$為邊長(zhǎng)的三角形一定存在．
那么，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①，比如a=2，b=2，c=1時(shí)，$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{1}{c}$，以$\frac{1}{a}，\;\frac{1}，\;\frac{1}{c}$為邊長(zhǎng)的三角形不存在；
 ②，由+b＞c，可得a+b+2$\sqrt{ab}$＞c，即$\sqrt{a}+\sqrt＞\sqrt{c}$，可判定②．
 ③，當(dāng)△ABC中為直角三角形時(shí)，不妨設(shè)c為斜邊，則a²+b²=c²，∴以a²，b²，c²為邊長(zhǎng)的三角形一定不存在；
 ④，$\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}＞\frac{c+a}{2}$，$\frac{a+b}{2}-\frac{b+c}{2}＜\frac{a+c}{2}$，由此可判定．

解答 解：對(duì)于①，比如a=2，b=2，c=1時(shí)，$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{1}{c}$，以$\frac{1}{a}，\;\frac{1}，\;\frac{1}{c}$為邊長(zhǎng)的三角形不存在，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，∵a+b＞c，∴a+b+2$\sqrt{ab}$＞c，即$\sqrt{a}+\sqrt＞\sqrt{c}$，可得②正確．
對(duì)于③，當(dāng)△ABC中為直角三角形時(shí)，不妨設(shè)c為斜邊，則a²+b²=c²，∴以a²，b²，c²為邊長(zhǎng)的三角形一定不存在，故③錯(cuò)；
對(duì)于④，∵$\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}＞\frac{c+a}{2}$，$\frac{a+b}{2}-\frac{b+c}{2}＜\frac{a+c}{2}$，由此可判定④正確；
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形中三邊的長(zhǎng)度制約條件，屬于中檔題．