已知橢圓:
x2
4
+
y2
b2
=1(0<b<2)
,左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),若|BF2|+|AF2|的最大值為5,則b的值是
3
3
分析:由題意可知橢圓是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,利用橢圓定義得到|BF2|+|AF2|=8-|AB|,再由過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長最短,可知當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)|AB|最小,把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|=8-|AB|,由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值.
解答:解:由0<b<2可知,焦點(diǎn)在x軸上,
∵過F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),∴|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|=2a+2a=4a=8
∴|BF2|+|AF2|=8-|AB|.
當(dāng)AB垂直x軸時(shí)|AB|最小,|BF2|+|AF2|值最大,
此時(shí)|AB|=b2,∴5=8-b2
解得b=
3

故答案為
3
點(diǎn)評:本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系,考查了橢圓的定義,解答此題的關(guān)鍵是明確過橢圓焦點(diǎn)的弦中通徑的長最短,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C方程為
x2
4
+
y2
3
=1
,直線l:y=
x
2
+m
與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P(1,
3
2
)
,
(1)求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)設(shè)直線PA、PB斜率分別為k1、k2,求證:k1+k2為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
4
+y2=1
的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,曲線E是以橢圓中心為頂點(diǎn),B為焦點(diǎn)的拋物線.
(Ⅰ)求曲線E的方程;
(Ⅱ)直線l:y=
k
(x-1)
與曲線E交于不同的兩點(diǎn)M、N,當(dāng)
AM
AN
≥17
時(shí),求直線l的傾斜角θ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B,我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的,則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”,且三角形的相似比即為橢圓的相似比.
(1)已知橢圓C1
x2
4
+y2=1
C2
x2
16
+
y2
4
=1
判斷C2與C1是否相似,如果相似則求出C2與C1的相似比,若不相似請說明理由;
(2)寫出與橢圓C1相似且半短軸長為b的橢圓Cb的方程,并列舉相似橢圓之間的三種性質(zhì)(不需證明);
(3)已知直線l:y=x+1,在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對稱,若存在,則求出函數(shù)f(b)=|MN|的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•浙江模擬)已知橢圓
y2
5
+
x2
4
=1
的上、下焦點(diǎn)分別為N、M,若動點(diǎn)P滿足
MP
MN
=|
PN
|•|
MN
|

(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)直線l1:y=-1,設(shè)傾斜角為α的直線l2過點(diǎn)N,交軌跡C于兩點(diǎn)A、B,交直線l1于點(diǎn)R.若α∈(0,
π
6
],求|AR|•|BR|的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)如圖1,已知定點(diǎn)F1(-2,0)、F2(2,0),動點(diǎn)N滿足|
ON
|=1(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),
F1M
=2
NM
MP
MF2
(λ∈R),
F1M
PN
=0,求點(diǎn)P的軌跡方程.
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(2)如圖2,已知橢圓C:
x2
4
+y2=1的上、下頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)P在橢圓上,且異于點(diǎn)A、B,直線AP、BP與直線l:y=-2分別交于點(diǎn)M、N,
(。┰O(shè)直線AP、BP的斜率分別為k1、k2,求證:k1•k2為定值;
(ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí),以MN為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)?請證明你的結(jié)論.

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