Question

【題目】已知函數(shù)， ，且曲線在處的切線方程為.

（1）求， 的值；

（2）求函數(shù)在上的最小值；

（3）證明：當(dāng)時(shí)， .

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算， ，求出a，b的值即可；

（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到f（x）在[0，1]遞增，從而求出f（x）的最大值；

（3）只需證明x＞0時(shí)， ，因?yàn)?/span>，且曲線在處的切線方程為，故可猜測(cè)：當(dāng)且時(shí)， 的圖象恒在切線的上方．

試題解析：

（1）由題設(shè)得，∴，

解得， ．

（2）由（1）知， ，

令函數(shù)，∴，

當(dāng)時(shí)， ， 遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 遞增；∴，即

∴當(dāng)時(shí)， ，且僅當(dāng)時(shí)，

故在上單調(diào)遞增，

∴；

（3）由題要證：當(dāng)時(shí)， ，

即證： ，

因?yàn)?/span>，且曲線在處的切線方程為，

故可猜測(cè)：當(dāng)且時(shí)， 的圖象恒在切線的上方．

下面證明：當(dāng)時(shí)， ，

證明：設(shè)， ，

則，令， ，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

又， ， ，

所以，存在，使得，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)，

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

又，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

故．

由（2）知， ，故，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

所以， ．

即．所以， ，

即成立，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

故：當(dāng)時(shí)， ， 12分

方法二：要證，等價(jià)于，又，可轉(zhuǎn)化為證明

令，

，

，因此當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

有最大值，即恒成立，即當(dāng)時(shí)，