Question

13．利用定積分的定義求由直線x=1，x=2，y=0與曲線y=x³圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 利用分割、近似代替、求和、求極限的方法，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）分割
如圖，把曲邊梯形ABCD分割成n個(gè)小曲邊梯形，用分點(diǎn)$\frac{n+1}{n}$.$\frac{n+2}{n}$，…$\frac{n+（n-1）}{n}$把區(qū)間[1，2]等分成n個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間的長度為△x=$\frac{1}{n}$，過各分點(diǎn)作x軸的垂線，把曲邊梯形ABCD分割成n個(gè)小曲邊梯形，它們的面積分別記作△S₁，△S₂，…，△S_n．
（2）近似代替取各小區(qū)間的左端點(diǎn)ξ_i，用以點(diǎn)ξ_i的縱坐標(biāo)ξ_i³為一邊，以小區(qū)間長△x=$\frac{1}{n}$為其鄰邊的小矩形面積近似代替第i個(gè)小曲邊梯形面積，可以近似地表示為
△S_i≈ξ_i³•△x=$（\frac{n+i-1}{n}）^{3}•\frac{1}{n}$（i=1，2，3，…，n）．
（3）求和
因?yàn)槊恳粋�(gè)小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個(gè)小矩形面積的和就是曲邊梯形ABCD面積S的近似值，即S=$\sum_{i=1}^{n}△{S}_{i}$=$\sum_{i=1}^{n}$$（\frac{n+i-1}{n}）^{3}•\frac{1}{n}$                                 ①
（4）求極限
當(dāng)分點(diǎn)數(shù)目愈多，即△x愈小時(shí)，和式①的值就愈接近曲邊梯形ABCD的面積S．因此，n→∞即△x→0時(shí)，和式①的極限就是所求的曲邊梯形ABCD的面積．
$\sum_{i=1}^{n}$$（\frac{n+i-1}{n}）^{3}•\frac{1}{n}$=$\frac{1}{{n}^{4}}$•$\sum_{i=1}^{n}$（n+i-1）³
=$\frac{1}{{n}^{4}}$•[n（n-1）³+3（n-1）²•$\frac{n（n+1）}{2}$+3（n-1）•$\frac{n}{6}$（n+1）（2n+1）+$\frac{1}{4}{n}^{2}（n+1）^{2}$，
∴S=$\underset{lim}{n→∞}$$\sum_{i=1}^{n}$$（\frac{n+i-1}{n}）^{3}•\frac{1}{n}$=1+$\frac{3}{2}$+1+$\frac{1}{4}$=$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查利用定積分的定義求面積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．