Question

已知三個(gè)正數(shù)a，b，c滿足a＜b＜c．
（1）若a，b，c是從中任取的三個(gè)數(shù)，求a，b，c能構(gòu)成三角形三邊長的概率；
（2）若a，b，c是從（0，1）中任取的三個(gè)數(shù)，求a，b，c能構(gòu)成三角形三邊長的概率．

Answer 1

解：（1）若a，b，c能構(gòu)成三角形，則．
①若時(shí)，．共1種；
②若時(shí)．．共2種；
同理時(shí)，有3+1=4種；時(shí)，有4+2=6種；時(shí)，有5+3+1=9種；時(shí)，有6+4+2=12種．
于是共有1+2+4+6+9+12=34種．
下面求從中任取的三個(gè)數(shù)a，b，c（a＜b＜c）的種數(shù)：
①若，，則，有7種；，有6種；，，有5種；…； ，有1種．
故共有7+6+5+4+3+2+1=28種．
同理，時(shí)，有6+5+4+3+2+1=21種；時(shí)，有5+4+3+2+1=15種；時(shí)，有4+3+2+1=10種；時(shí)，有3+2+1=6種；時(shí)，有2+1=3種；時(shí)，有1種．這時(shí)共有28+21+15+10+6+3+1=84種．
∴a，b，c能構(gòu)成三角形的概率為=．
（2）a，b，c能構(gòu)成三角形的充要條件是．
在坐標(biāo)系aOb內(nèi)畫出滿足以上條件的區(qū)域（如右圖陰影部分），
由幾何概型的計(jì)算方法可知，只求陰影部分的面積與圖中正方形的面積比即可．
又S_陰影=，于是所要求的概率為．
分析：（1）討論c的值，從而求出a，b，c能構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)，然后求出求從中任取的三個(gè)數(shù)a，b，c（a＜b＜c）的種數(shù)，利用古典概型的概率公式解之即可；
（2）a，b，c能構(gòu)成三角形的充要條件是，在坐標(biāo)系aOb內(nèi)畫出滿足以上條件的區(qū)域，由幾何概型的計(jì)算方法可求出所求．
點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型和幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．