Question

已知點(diǎn)P為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上異于左、右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是左、右焦點(diǎn)，連接PF₁，PF₂，作△PF₁F₂的旁切圓（與線段PF₂，F(xiàn)₁P延長線及F₁F₂延長線均相切），其圓心為O′，則動(dòng)圓圓心O′的軌跡所在曲線是（　�。�

• A、直線
• B、圓
• C、橢圓
• D、雙曲線

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：畫出圓M，切點(diǎn)分別為E、D、G，由切線長相等定理知F₁G=F₁E，PD=PE，F(xiàn)₂D=F₂G，根據(jù)橢圓的定義知PF₁+PF₂=2a，PF₁+PF₂=F₁E+DF₂（PD=PE）=F₁G+F₂D（F₁G=F₁E）=F₁G+F₂G=2a，由此入手知M點(diǎn)的軌跡是垂直于x軸的一條直線（除去A點(diǎn)）．

解答： 解：如圖畫出圓M，切點(diǎn)分別為E、D、G，由切線長相等定理知
F₁G=F₁E，PD=PE，F(xiàn)₂D=F₂G，
根據(jù)橢圓的定義知PF₁+PF₂=2a，
∴PF₁+PF₂=F₁E+DF₂（PD=PE）
=F₁G+F₂D（F₁G=F₁E）
=F₁G+F₂G=2a，
∴2F₂G=2a-2c，F(xiàn)₂G=a-c，
即點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，
∴點(diǎn)M在x軸上的射影是長軸端點(diǎn)A，M點(diǎn)的軌跡是垂直于x軸的一條直線（除去A點(diǎn)）；
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．