Question

如圖所示，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），P為橢圓上一點(diǎn)，Q為上頂點(diǎn)，

F1M

=2

MP

，

PO

•

F2M

=0．
（1）當(dāng)橢圓離心率e=

1

2

時(shí)，若直線過(guò)點(diǎn)（0，-

3

7

）且與橢圓交于A，B（不同于Q）兩點(diǎn)，求∠AQB；
（2）求橢圓離心率e的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用已知條件求出a=2，求出橢圓的方程設(shè)AB所在的直線方程為y=kx-

3

7

，代入橢圓方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，以及向量是數(shù)量積為0，即可求出∠AQB=

π

2

．
（2）通過(guò)

PO

•

F2M

=0，在△F₁PF₂中，由余弦定理，結(jié)合a-c≤|

PF2

|≤a+c，推出a≤2c，然后求出離心率的范圍．

解答： 解：（1）c=1，e=

c

a

=

1

2

，得a=2，∴b²=a²-c²=3，
所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．依題意可設(shè)AB所在的直線方程為y=kx-

3

7

，代入橢圓方程，得(3+4k2)x2-

8 3

7

kx-

576

49

=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

8 3 k

7(3+4k2)

，x1x2=

-576

49(3+4k2)

．
因?yàn)?span id="hawzxik" class="MathJye">Q(0，

3

)，
∴

QA

•

QB

=(x1，y1-

3

)•(x2，y2-

3

)=(x1，kx1-

8 3

7

)•(x2，kx2-

8 3

7

)
=(1+k2)x1x2-

8 3

7

k(x1+x2)+

192

49

=(1+k2)

-576

49(3+4k2)

-

8 3

7

k

8 3 k

7(3+4k2)

+

192

49

=

-576-576k2-192k2+576+768k2

49(3+4k2)

=0，
所以∠AQB=

π

2

．
（2）因?yàn)?span id="gnpdsmb" class="MathJye">

PO

=

1

2

(

PF1

+

PF2

)，

F2M

=

PM

-

PF2

=

1

3

PF1

-

PF2

，
因?yàn)?span id="tejwfox" class="MathJye">

PO

•

F2M

=0，所以

1

2

(

PF1

+

PF2

)•(

1

3

PF1

-

PF2

)=0，化簡(jiǎn)得

PF1

2-2

PF1

•

PF2

-3

PF2

2=0，即|

PF1

|2-2|

PF1

||

PF2

|cos∠F1PF2-3|

PF2

|2=0，
在△F₁PF₂中，由余弦定理，有|

PF1

|2+|

PF2

|2-2|

PF1

||

PF2

|cos∠F1PF2=4c2，
所以4|

PF2

|2=4c2，|

PF2

|=c，又因?yàn)?span id="povcmgi" class="MathJye">a-c≤|

PF2

|≤a+c，∴a≤2c，
即e=

c

a

≥

1

2

，∵0＜e＜1∴e∈[

1

2

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的綜合應(yīng)用，橢圓的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．