Question

9．已知函數f（x）=e^x-ax（e自然對數的底數）．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）討論關于x的方程f（x）=a的根的個數；
（3）若a≥1，當xf（x）≥x³-$\frac{5a+3}{2}$x²+3ax-1+m對任意x∈[0，+∞）恒成立時，m的最大值為1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x-a，對a分類討論，即可得出函數f（x）的單調區(qū)間．
（2）由（1）可得：對a分類討論，利用其單調性即可得出：方程f（x）=a的根的個數．
（3）a≥1時，xf（x）≥x³-$\frac{5a+3}{2}$x²+3ax-1+m，化為：x（e^x-ax）-x³+$\frac{5a+3}{2}$x²-3ax+1≥m，令g（x）=x（e^x-ax）-x³+$\frac{5a+3}{2}$x²-3ax+1，x∈[0，+∞）．g′（x）=（1+x）[e^x-3（x+a）]，令h（x）=e^x-3（x+a），可得h′（x）=e^x-3，可得：函數h（x）存在唯一零點x₀．令g′（x）=0，可得${e}^{{x}_{0}}$=3x₀+3a．利用g（x₀）≥1，化為：a≥$\frac{2}{3}{x}_{0}$-3，即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，
當a≤0時，f′（x）≥0，此時函數f（x）在R上單調遞增．
當a＞0時，令f′（x）=0，解得x=lna．則x∈（-∞，lna）時，此時函數f（x）單調遞減；
x∈（lna，+∞）時，此時函數f（x）單調遞增．
綜上可得：當a≤0時，函數f（x）在R上單調遞增．
當a＞0時，函數f（x）的單調遞減區(qū)間是（-∞，lna）；函數f（x）單調遞增區(qū)間是[lna，+∞）．
（2）由（1）可得：①當a＜0時，函數f（x）在R上單調遞增．
x→+∞時，f（x）→+∞；x→-∞時，f（x）→-∞．
因此此時方程f（x）=a的根的個數為1．
②a=0時，f（x）=e^x＞0，此時方程f（x）=a的根的個數為0．
③當a＞0時，函數f（x）的單調遞減區(qū)間是（-∞，lna）；函數f（x）單調遞增區(qū)間是[lna，+∞）．
可得函數f（x）的極小值即最小值為：f（x）_min=f（lna）=a-alna，
因此a=1時，f（x）_min=f（0）=1，∴此時方程f（x）=a的根的個數為1．
a＞1時，f（x）_min=f（lna）=a-alna＜a，∴此時方程f（x）=a的根的個數為2．
0＜a＜1時，f（x）_min=f（lna）=a-alna＞a，∴此時方程f（x）=a的根的個數為0．
綜上可得：①當a＜0時，此時方程f（x）=a的根的個數為1．
②a=0時，此時方程f（x）=a的根的個數為0．
③當a＞0時，a=1時，此時方程f（x）=a的根的個數為1．
a＞1時，此時方程f（x）=a的根的個數為2．
0＜a＜1時，此時方程f（x）=a的根的個數為0．
（3）a≥1時，xf（x）≥x³-$\frac{5a+3}{2}$x²+3ax-1+m，化為：x（e^x-ax）-x³+$\frac{5a+3}{2}$x²-3ax+1≥m，
令g（x）=x（e^x-ax）-x³+$\frac{5a+3}{2}$x²-3ax+1，x∈[0，+∞）．
g′（x）=（1+x）[e^x-3（x+a）]，
令h（x）=e^x-3（x+a），可得h′（x）=e^x-3，
因此當x=ln3時，h（x）取得極小值，即最小值，h（ln3）=3-3（ln3+a）＜0，
且h（0）=1-3a＜0；x→+∞時，h（x）→+∞．
因此函數h（x）存在唯一零點x₀，．
令g′（x）=0，可得${e}^{{x}_{0}}$=3x₀+3a．
可得：當x=x₀時，函數g（x）取得極小值，即最小值．
∴g（x₀）=x₀$（{e}^{{x}_{0}}-a{x}_{0}）$-${x}_{0}^{3}$+$\frac{5a+3}{2}{x}_{0}^{2}$-3ax₀+1≥1，
化為：a≥$\frac{2}{3}{x}_{0}$-3，其中x₀滿足：${e}^{{x}_{0}}$=3x₀+3a．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值并且研究方程的根的個數、恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．