Question

3．已知數列{a_n}的前n項和為S_n=-3n²+49n．
（1）請問數列{a_n}是否為等差數列？如果是，請證明；
（2）設b_n=|a_n|，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）使用a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，求出通項公式a_n，再計算相鄰兩項的差判斷是否為常數即可；
（2）判斷{a_n}的符號，對n進行討論得出數列{b_n}的前n項和與S_n的關系．

解答 解：（1）∵${S_n}=-3{n^2}+49n$，∴a₁=S₁=46．
∴${S_{n-1}}=-3{（{n-1}）^2}+49（{n-1}）（{n≥2}）$，
∴a_n=S_n-S_n-1=-6n+52（n≥2），
經檢驗，當n=1時上式也成立，
∴a_n=-6n+52，
∴a_n+1-a_n=-6，
∴{a_n}為等差數列．
（2）∵a_n=-6n+52，∴當n≤8時，a_n＞0，當n≥9時，a_n＜0，
設數列{b_n}的前n項和為T_n，
則T_n=a₁+a₂+a₃+…+a₈-a₉-a₁₀-…-a_n，
∴當n≤8時，T_n=S_n=-3n²+49n；
當n＞8時，T_n=-S_n+2S₈=3n²-49n+400．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-3{n}^{2}+49，n≤8}\\{3{n}^{2}-49n+400，n＞8}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等差關系的判斷，數列求和，屬于中檔題．