Question

【題目】已知函數(shù)（＞0， ≠1， ≠﹣1），是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）當=1時，判斷函數(shù)在（﹣1，1）上的單調(diào)性，并給出證明；

（3）若且，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）由函數(shù)是奇函數(shù)， 對定義域內(nèi)的所有自變量成立，可得對定義域內(nèi)的都成立，可得，從而可求出實數(shù)的值；（2）先先根據(jù)單調(diào)性的定義判斷并證明真數(shù)的單調(diào)性，分別兩種情況討論對數(shù)底數(shù)的范圍，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；（3）先根據(jù)得到的范圍，再結(jié)合其為奇函數(shù)把轉(zhuǎn)化為，利用第二問的單調(diào)性即可求出實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴

∴∴；∴

∴，

整理得對定義域內(nèi)的都成立．∴．

所以或（舍去）∴．

（2）由（1）可得；令

設(shè)，則

∵∴， ∴．

當時，，即．

∴當時， 在（﹣1，1）上是減函數(shù)．

當時， ，即．

∴當時， 在（﹣1，1）上是增函數(shù)．

（3）∵， ∴，

由，得，

∵函數(shù)是奇函數(shù)， ∴，

故由（2）得在（﹣1，1）上是增函數(shù)，∴

解得∴實數(shù)的取值范圍是。