Question

已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)P（0，2），且在點(diǎn)M（－1，）處的切線方程。

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)與的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍。

 

Answer 1

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）將點(diǎn)代入函數(shù)解析式可得的值，將代入直線可得的值，再由切線方程可知切線的斜率為6，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知即，解由和組成的方程組可得的值。（2）可將問題轉(zhuǎn)化為有三個(gè)不等的實(shí)根問題，將整理變形可得，令，則的圖像與圖像有三個(gè)交點(diǎn)。然后對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0求其根。討論導(dǎo)數(shù)的符號，導(dǎo)數(shù)正得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)負(fù)得減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合分析可得出的取值范圍。

（1）由的圖象經(jīng)過點(diǎn)，知。

所以，則

由在處的切線方程是知，即。所以即解得。

故所求的解析式是。

（2）因?yàn)楹瘮?shù)與 的圖像有三個(gè)交點(diǎn)

所以有三個(gè)根

即有三個(gè)根

令，則的圖像與圖像有三個(gè)交點(diǎn)。

接下來求的極大值與極小值（表略）。

的極大值為 的極小值為

因此

考點(diǎn)：1導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像及性質(zhì)。