Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線l的參數(shù)方程為

x= 2 +t y=t

（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=1．
（1）求直線l與圓C的公共點個數(shù)；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C經(jīng)過伸縮變換

x′=x y′=2y

得到曲線C′，設(shè)M（x，y）為曲線C′上一點，求4x²+xy+y²的最大值，并求相應(yīng)點M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）把直線l的參數(shù)方程、圓C的極坐標(biāo)方程化為普通方程，根據(jù)圓心到直線的距離d與圓半徑r的關(guān)系，判定直線l與圓C的公共點個數(shù)；
（Ⅱ）由圓C的參數(shù)方程求出曲線C′的參數(shù)方程，代入4x²+xy+y²中，求出4x²+xy+y²取得最大值時對應(yīng)的M點的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程

x= 2 +t y=t

（t為參數(shù)）化為普通方程是x-y-

2

=0，
圓C的極坐標(biāo)方程ρ=1化為普通方程是x²+y²=1；
∵圓心（0，0）到直線l的距離為d=

|0-0- 2 |

12+(-1)2

=1，等于圓的半徑r，
∴直線l與圓C的公共點的個數(shù)是1；
（Ⅱ）圓C的參數(shù)方程是

x=cosθ y=sinθ

，（0≤θ＜2π）；
∴曲線C′的參數(shù)方程是

x=cosθ y=2sinθ

，（0≤θ＜2π）；
∴4x²+xy+y²=4cos²θ+cosθ•2sinθ+4sin²θ=4+sin2θ；
當(dāng)θ=

π

4

或θ=

5π

4

時，4x²+xy+y²取得最大值5，
此時M的坐標(biāo)為（

2

2

，

2

）或（-

2

2

，-

2

）．

點評：本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的應(yīng)用問題，解題時可以把參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程化為普通方程，以便正確解答問題，是基礎(chǔ)題．