Question

13．已知點C是線段AB上一點，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MC}}{|\overrightarrow{MA}|}$=$\frac{\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MC}}{\overrightarrow{|MB|}}$，則$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|AB{|}^{2}}$的最大值為2．

Answer 1

分析 由已知可得$|\overrightarrow{MA}|=2|\overrightarrow{MB}|$，然后以AB所在直線為x軸，以C為坐標原點距離平面直角坐標系，設點A、B、M的坐標，利用數(shù)量積的坐標運算求得答案．

解答 解：由$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MC}}{|\overrightarrow{MA}|}$=$\frac{\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MC}}{\overrightarrow{|MB|}}$，得$\frac{|\overrightarrow{MA}|•|\overrightarrow{MC}|cos∠AMC}{|\overrightarrow{MA}|}=\frac{|\overrightarrow{MB}|•|\overrightarrow{MC}|cos∠BMC}{|\overrightarrow{MB}|}$，
∴cos∠AMC=cos∠BMC，即∠AMC=∠BMC，
又$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，∴$|\overrightarrow{MA}|=2|\overrightarrow{MB}|$，
如圖：設|AB|=3a，
以AB所在直線為x軸，以C為坐標原點距離平面直角坐標系，
則A（-a，0），B（a，0），
再設M（m，n），
由$|\overrightarrow{MA}|=2|\overrightarrow{MB}|$，得$\sqrt{（-2a-m）^{2}+{n}^{2}}=2\sqrt{（a-m）^{2}+{n}^{2}}$，
整理得：m²+n²=4ma ①，
又$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（-2a-m，-n）•（a-m，-n）$=5ma-2a²，
∴$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|AB{|}^{2}}$=$\frac{5ma-2{a}^{2}}{9{a}^{2}}$=$\frac{5m}{9a}-\frac{2}{9}$，
又由①知：M的軌跡為（m-2a）²+n²=4a²，∴m≤4a，
∴$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|AB{|}^{2}}$$≤\frac{20a}{9a}-\frac{2}{9}=2$．
故答案為：2．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，考查推理論證能力和運算能力，難度較大．