Question

已知函數(shù)f （x）=a[lnx-ln（1-x）]-2x（ 0＜x＜1 ）．
（Ⅰ）若函數(shù)f （x）是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求f （x）=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)的根的個數(shù)．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：方程思想,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）f′（x）=a(

1

x

+

1

1-x

)-2=

a

x(1-x)

-2(0＜x＜1)． 利用不等式，判斷單調(diào)性求解，
（2）分類討論根據(jù)單調(diào)性，判斷函數(shù)零點，方程的根的情況，當a=0時，f （x）=?2x在區(qū)間（0，1）內(nèi)無根．當a?≥

1

2

時f （x）=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個根，當0＜a＜

1

2

時故f （x）=0在區(qū)間（0，x₂）內(nèi)無實根．總結即可．

解答： 解：（Ⅰ）：f′（x）=a(

1

x

+

1

1-x

)-2=

a

x(1-x)

-2(0＜x＜1)．      
f （x）為增函數(shù)時，f′（x）≥0，
即a≥2x（1-x），
因為2x（1-x） 的值域為（0，

1

2

]，故a≥

1

2

；                   
f （x）為減函數(shù)時，f′（x）≤0，
即a≤2x（1-x），
因為2x（1-x） 的值域為（0，

1

2

]，故a≤0．
綜上：a的取值范圍是a≤0或a≥

1

2

．                       
（Ⅱ）當a＜0時，函數(shù)f （x）為減函數(shù)，x→0時，f （x）→+∞，x→1時，f （x）→-∞，
f （x）=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個根．                         
當a=0時，f （x）=?2x在區(qū)間（0，1）內(nèi)無根．              
當a?≥

1

2

時，函數(shù)f （x）為增函數(shù)，x→0時，f （x）→-∞，x→1時，f （x）→+∞，
f （x）=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一個根．                        
當0＜a＜

1

2

時，f′(x)=

2x2-2x+a

x(1-x)

，
由f'（x）=0，可知：x1=

1- 1-2a

2

，x2=

1+ 1-2a

2

．                  
因為0＜a＜

1

2

，
故0＜x1＜

1

2

，

1

2

＜x2＜1，從而

x1

1-x1

=

x1

x2

∈(0，1)．
0＜x＜x₁或x₂＜x＜1時，f'（x）＞0，
故函數(shù)f （x）在區(qū)間（0，x₁）及（x₂，1）上為增函數(shù)，
類似地函數(shù)f （x）在區(qū)間（x₁，x₂）上為減函數(shù)．                  
x∈（0，x₂]時，f （x）≤f （x₁）=aln

x1

1-x1

?2x₁＜aln

x1

1-x1

＜0，
故f （x）=0在區(qū)間（0，x₂）內(nèi)無實根．                            
又f （x₂）＜f （x₁）＜0，x→1時，f （x）→+∞，函數(shù)f （x）在區(qū)間（x₂，1）上為增函數(shù)，
故f （x）=0在區(qū)間（x₂，1）內(nèi)有一根．
綜上所述，a≠0時，f （x）=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)的根的個數(shù)為1．
a=0時，f （x）=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)的根的個數(shù)為0．

點評：本題綜合查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點的判斷方法，分類討論求解，屬于難題．