Question

1．已知正實數(shù)a，b，c滿足a+2b+c=1，$\frac{1}{a+b}$+$\frac{16（a+b）}{b+c}$的最小值為9．

Answer 1

分析 由題意可得（a+b）+（b+c）=1，代入并分離常數(shù)可得原式=$\frac{b+c}{a+b}$+$\frac{16（a+b）}{b+c}$+1，由基本不等式可得．

解答 解：∵正實數(shù)a，b，c滿足a+2b+c=1，
∴（a+b）+（b+c）=1，
∴$\frac{1}{a+b}$+$\frac{16（a+b）}{b+c}$=$\frac{a+b+b+c}{a+b}$+$\frac{16（a+b）}{b+c}$
=1+$\frac{b+c}{a+b}$+$\frac{16（a+b）}{b+c}$≥1+2$\sqrt{\frac{b+c}{a+b}•\frac{16（a+b）}{b+c}}$=9，
當且僅當$\frac{b+c}{a+b}$=$\frac{16（a+b）}{b+c}$即a+b=$\frac{1}{5}$且b+c=$\frac{4}{5}$時取等號，故答案為：9．

點評 本題考查基本不等式求最值，整體湊出可用基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．