Question

12．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2-$\frac{1}{{a}_{n}}$（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，猜想出數(shù)列的通項公式a_n；
（Ⅱ）用數(shù)學歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)遞推公式計算并猜想通項公式；
（II）先驗證n=1時猜想成立，再假設n=k猜想成立，推導n=k+1的情況，得出結(jié)論．

解答 解：（I）a₂=2-$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{2}$；a₃=2-$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{3}$；a₄=2-$\frac{1}{{a}_{3}}$=$\frac{5}{4}$；
猜想：a_n=$\frac{n+1}{n}$．
（II）當n=1時，猜想顯然成立；
假設n=k（k≥1）時猜想成立，即a_k=$\frac{k+1}{k}$，
則a_k+1=2-$\frac{1}{{a}_{k}}$=2-$\frac{k}{k+1}$=$\frac{k+2}{k+1}$=$\frac{k+1+1}{k+1}$，
∴當n=k+1時，猜想成立．
∴a_n=$\frac{n+1}{n}$對任意正整數(shù)恒成立．

點評 本題考查了數(shù)學歸納法證明，屬于基礎題．