Question

已知函數(shù)(x∈R)．
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，證明當(dāng)x＞1時(shí)，．

Answer 1

(1) f(x)在(－∞，1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù)．故函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值f(1)，且f(1)＝　 (2)見解析

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
（1）根據(jù)已知函數(shù)求解導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的 符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系得到單調(diào)區(qū)間。
（2）構(gòu)造函數(shù)由題意可知g(x)＝f(2－x)，
得g(x)＝(2－x)e^x－2.
令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe^－x＋(x－2)e^x－2.
于是F′(x)＝(x－1)(e^2x－2－1)e^－x.
當(dāng)x＞1時(shí)，2x－2＞0，從而e^2x－2－1＞0.
又e^－x＞0，
結(jié)合單調(diào)性得到結(jié)論。
解：(1)f′(x)＝(1－x)e^－x.令f′(x)＝0，
解得x＝1.
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

所以f(x)在(－∞，1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù)．
故函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值f(1)，且f(1)＝.
(2)證明：由題意可知g(x)＝f(2－x)，
得g(x)＝(2－x)e^x－2.
令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe^－x＋(x－2)e^x－2.
于是F′(x)＝(x－1)(e^2x－2－1)e^－x.
當(dāng)x＞1時(shí)，2x－2＞0，從而e^2x－2－1＞0.
又e^－x＞0，
所以F′(x)＞0，從而函數(shù)F(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)．
又F(1)＝e^－1－e^－1＝0，
所以x＞1時(shí)，有F(x)＞F(1)＝0，
因此，當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞g(x)．