Question

5．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式； 
（2）函數(shù)g（x）=sinx的圖象怎么變換可以得到函數(shù)f（x）的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知中函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，?＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的簡圖，分析函數(shù)的最值，周期，最大值點，進而可得A，ω，φ的值，進而可得f（x）的解析式；
（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的變換法則，結合（1）中所得的函數(shù)解析式，可得變換方式．

解答 （本題滿分12分）
解：（1）根據(jù)條件得A=1…（1分）
據(jù)圖$\frac{T}{2}=\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，所以$T=π=\frac{2π}{ω}$，得ω=2…（3分）
于是f（x）=sin（2x+ϕ），又f（x）的圖象過點$（\frac{π}{6}，1）$
所以$sin（2×\frac{π}{6}+ϕ）=1$，又$|ϕ|＜\frac{π}{2}$，得$ϕ+\frac{π}{3}∈（-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}）$
得$ϕ+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，所以 $ϕ=\frac{π}{6}$…（5分）
于是$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$…（6分）
（2）解法一：將函數(shù)g（x）=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位可得：
y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍
可得：$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$的圖象；…（12分）
解法二：將函數(shù)g（x）=sinx的圖象保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍
可得y=sin2x的圖象，
再將y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{12}$個單位可得：
$y=sin2（x+\frac{π}{12}）=sin（2x+\frac{π}{6}）$的圖象…（12分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的圖象和性質，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的解析式求法，難度中檔．