如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（1）求證：AC⊥平面BDE；
（2）設(shè)點(diǎn)M是線段BD 上一個(gè)動點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

【答案】分析：（1）根據(jù)DE⊥平面ABCD，由線面垂直的判定定理可知DE⊥AC，由ABCD是正方形可知AC⊥BD，而DE∩BD=D，滿足線面垂直的判定所需條件，從而證得結(jié)論；
（2）當(dāng)M是BD的一個(gè)三等分點(diǎn)，即3BM=BD時(shí)，AM∥平面BEF．取BE上的三等分點(diǎn)N，使3BN=BE，連接MN，NF，則DE∥MN，且DE=3MN，而AF∥DE，且DE=3AF，則四邊形AMNF是平行四邊形，從而AM∥FN，AM?平面BEF，F(xiàn)N?平面BEF，滿足線面平行的判定定理，從而證得結(jié)論．
解答：（1）證明：因?yàn)镈E⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．…（2分）
因?yàn)锳BCD是正方形，
所以AC⊥BD，因?yàn)镈E∩BD=D…（4分）
從而AC⊥平面BDE．…（6分）
（2）當(dāng)M是BD的一個(gè)三等分點(diǎn)，即3BM=BD時(shí)，AM∥平面BEF．   …（7分）
取BE上的三等分點(diǎn)N，使3BN=BE，連接MN，NF，則DE∥MN，且DE=3MN，
因?yàn)锳F∥DE，且DE=3AF，所以AF∥MN，且AF=MN，
故四邊形AMNF是平行四邊形．            …（10分）
所以AM∥FN，
因?yàn)锳M?平面BEF，F(xiàn)N?平面BEF，…（12分）
所以AM∥平面BEF．                    …（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及線面平行的判定，同時(shí)考查了推理論證的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE與平面ABCD所成角為60°．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個(gè)動點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得AM∥平面BEF，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，ABCD是邊長為a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD為正三角形，且面PAD⊥面ABCD．
（1）求cos＜
AB
，
PD
＞的值；
（2）若E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，求|
EF
|的值；
（3）求二面角P-BC-D的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，面EAD⊥面ABCD，且EA=ED，EF∥AB，且EF=1，O是線段AD的中點(diǎn)，三棱錐F-OBC的體積為
23
，
（1）求證：OF⊥面FBC；
（2）求二面角B-OF-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•寧城縣模擬）如圖，ABCD是邊長為1的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求點(diǎn)F到平面BDE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線l為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點(diǎn)B都落在邊AD上，記為B'；折痕與AB交于點(diǎn)E，以EB和EB’為鄰邊作平行四邊形EB’MB．若以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如下圖）：
（Ⅰ）．求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）．若曲線S是由點(diǎn)M的軌跡及其關(guān)于邊AB對稱的曲線組成的，等腰梯形A1B1C1D1的三邊A1B1，B1C1，C1D1分別與曲線S切于點(diǎn)P，Q，R．求梯形A1B1C1D1面積的最小值．

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