Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（m-1）x+m，（m∈R）
（1）若f（x）是偶函數(shù)，求m的值．
（2）設(shè)g（x）=，x∈[，4]，求g（x）的最小值．

Answer 1

解：（1）由于二次函數(shù)函數(shù)f（x）=x²+（m-1）x+m 的對稱軸為 x=，且函數(shù)為偶函數(shù)，故它的對稱軸為y軸，故有 =0，m=1．
（2）由于函數(shù)g（x）==x+（m-1）+，
①當 ≤≤4時，即≤m≤16時，由基本不等式可得g（x）的最小值為2+m-1，當且僅當x=時，取得最小值．
②當＞4，即 m＞16時，由于函數(shù)g（x）在[，4]上是減函數(shù)，故g（x）的最小值為g（4）=3+m．
③當m＜時，函數(shù)g（x）在[，4]上是增函數(shù)，故g（x）的最小值為g（）=5m-．
綜上可得，g_min（x）=．
分析：（1）根據(jù)題意可得，二次函數(shù)的對稱軸為y軸，即x=0，由此可得m的值．
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）==x+（m-1）+，分①當 ≤≤4時、②當＞4、③當m＜時，三種情況，分別利用函數(shù)的單調(diào)性求得g（x）的最小值．
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，利用函數(shù)的單調(diào)性求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．