【題目】已知函數(shù)f(x)對(duì)于x,y∈R.
(1)若f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1,當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1且f(3)=4,
①求f(x)的單調(diào)性;
②f(x)在[1,2]上的最大值和最小值.
(2)若f(x)+f(y)=2f()f(),f(0)≠0,且存在非零常數(shù)c,使f(c)=0.
①判斷f(x)的奇偶性并證明;
②求證f(x)為周期函數(shù)并求出f(x)的一個(gè)周期.

【答案】證明:(1)①任取x1 , x2∈(﹣∞,+∞)且x1<x2 ,
則x2﹣x1>0,f(x2﹣x1)>1,
則f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)+f(x1)﹣1>1+f(x1)﹣1=f(x1),
故f(x)為R上的增函數(shù);
②∵f(x)為R上的增函數(shù),
∴f(x)在[1,2]上為增函數(shù),
則函數(shù)的最大值為f(2),最小值為f(1),
∵f(x+y)=f(x)+f(y)﹣1,
∴f(2)=f(1)+f(1)﹣1=2f(1)﹣1,
f(3)=f(1)+f(2)﹣1=f(1)+2(1)﹣1﹣1=3f(1)﹣2=4,
即3f(1)=6,則f(1)=2,
f(2)=2f(1)﹣1=2×2﹣1=4﹣1=3,
即函數(shù)在[1,2]上的最大值為f(2)=3,最小值為f(1)=2.
(2)①∵任意x,y∈R均有f(x)+f(y)=,令x=y=0,
∴2f(0)=2f(0)f(0),
∵f(0)≠0,∴f(0)=1.
令y=﹣x,可得f(x)+f(﹣x)=2f(0)f(x),
有f(﹣x)=f(x),
則f(x)為偶函數(shù)、
②∵f(2c+x)+f(x)=,
∵f(c)=0,∴f(2c+x)+f(x)=0,
即f(2c+x)=﹣f(x),
∴f(x)=﹣f(2c+x)=﹣[﹣f(2c+(2c+x))]=f(4c+x),
∴f(x)的周期為4c.
【解析】(1)①根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明.②利用函數(shù)的單調(diào)性的定義和最值之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
(2)①令x=0,y=0,并代入有 , 即可求出f(0)的值;令y=﹣x,代入求得f(x)+f(﹣x)=2f(0)f(x),即可證得結(jié)果;
②根據(jù)存在非零常數(shù)c,使f(c)=0及周期函數(shù)的定義得到f(2c+x)+f(x)==0,再驗(yàn)證f(4c+x)=f(x)即可證明結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大;③作差比較或作商比較).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知等比數(shù)列 項(xiàng)和為 ,則下列一定成立的是( )
A.若 ,則 ;
B.若 ,則 ;
C.若 ,則 ;
D.若 ,則

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若g(x)=f(x+1)+5,g′(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù),對(duì)x∈R,總有g(shù)′(x)>2x,則g(x)<x2+4的解集為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù) ,若存在唯一的正整數(shù)x0 , 使得f(x0)≥0,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知f(x)是定義在R上且以4為周期的奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)=ln(x2﹣x+b),若函數(shù)f(x)在區(qū)間[﹣2,2]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)集合A={x|﹣1≤x+1≤6},B={x|m﹣1≤x<2m+1}.
(1)當(dāng)x∈Z,求A的真子集的個(gè)數(shù)?
(2)若BA,求實(shí)數(shù)m的取值范圍?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),已知x2f′(x)+xf(x)=lnx,f(1)= , 則下列結(jié)論正確的是( 。
A.xf(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增
B.xf(x)在(1,+∞)單調(diào)遞減
C.xf(x)在(0,+∞)上有極大值
D.xf(x)在(0,+∞)上有極小值

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物.如圖是根據(jù)環(huán)保部門(mén)某日早6點(diǎn)至晚9點(diǎn)在惠農(nóng)縣、平羅縣兩個(gè)地區(qū)附近的PM2.5監(jiān)測(cè)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)(單位:毫克/立方米)列出的莖葉圖,惠農(nóng)縣、平羅縣兩個(gè)地區(qū)濃度的方差較小的是(
A.惠農(nóng)縣
B.平羅縣
C.惠農(nóng)縣、平羅縣兩個(gè)地區(qū)相等
D.無(wú)法確定

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠B1A1A=∠C1A1A=60°,AA1=AC=4,AB=2,P,Q分別為棱AA1 , AC的中點(diǎn).
(1)在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作AM∥平面PQB1交BC于點(diǎn)M,并寫(xiě)出作圖步驟,但不要求證明;
(2)若側(cè)面ACC1A1⊥側(cè)面ABB1A1 , 求直線A1C1與平面PQB1所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案