Question

19．⊙c：x²+y²-2ax-2（2a-1）y+4（a-1）=0，其中a∈R，
（1）當(dāng)a變化時(shí)，求圓心的軌跡方程，
（2）證明⊙c過定點(diǎn)，
（3）求面積最小的⊙c．

Answer 1

分析 （1）確定圓心坐標(biāo)，消去參數(shù)，可得圓心的軌跡方程；
（2）分離參數(shù)a，令相應(yīng)的系數(shù)為0，解方程組可得結(jié)論；
（3）當(dāng)圓的直角是兩點(diǎn)恒過點(diǎn)的距離是，此時(shí)圓C的面積最�。�

解答 解：由x²+y²-2ax-2（2a-1）y+4（a-1）=0，可知圓心為（a，2a-1）．
（1）設(shè)圓心為C（x，y）則$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2a-1}\end{array}\right.$，消去a，可得y=2x-1，
∴當(dāng)a變化時(shí)，圓C的圓心的軌跡方程是直線2x-y-1=0．
（2）證明：圓C的方程化為x²+y²+2y-4+a（-2x-4y+4）=0，
令$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}+2y-4=0}\\{-2x-4y+4=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$，
∴無論a取何值時(shí)，圓C經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)A（2，0）與B（$-\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$）．
（3）由（2）知圓C總過定點(diǎn)A（2，0）與B（$-\frac{2}{5}$，$\frac{6}{5}$）．，所以當(dāng)線段AB是圓C的直徑時(shí)，圓C的面積最小，最小值為S=π$（\frac{|AB|}{2}）^{2}$=$\frac{9π}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查圓心的軌跡，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．