Question

己知圓C：（x-2）²+y²=9，直線l：x+y=0．
（1）求與圓C相切，且與直線l平行的直線m的方程；
（2）若直線n與圓C有公共點，且與直線l垂直，求直線n在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由兩直線平行時斜率相等，根據直線l方程設所求切線方程為x+y+c=0，由直線與圓相切時，圓心到切線的距離d等于圓的半徑r，利用點到直線的距離公式列出關于c的方程，求出方程的解得到c的值，即可確定出直線m的方程；
（2）根據直線l與所求直線垂直，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1，設直線n方程為y=x+b，代入圓的方程消去y得到關于x的一元二次方程，由直線l與圓C有公共點，得到根的判別式的值大于等于0列出關于b的不等式，求出不等式的解集即可得到b的范圍．

解答：解：（1）∵直線m∥直線x+y=0，
∴設m：x+y+c=0，
∵直線m與圓C相切，
∴3=

|2+0+c|

2

，
解得：c=-2±3

2

，
得直線m的方程為：x+y-2+3

2

=0或x+y-2-3

2

=0；
（2）由條件設直線n的方程為：y=x+b，
代入圓C方程整理得：2x²+2（b-2）x+b²-5=0，
∵直線l與圓C有公共點，
∴△=4（b-2）²-8（b²-5）=-4b²-16b+56≥0，即b²+4b-14≤0，
解得：-2-3

2

≤b≤-2+3

2

．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及直線與圓相交的性質，涉及的知識有：點到直線的距離公式，兩直線平行、垂直時斜率滿足的關系，以及圓的標準方程，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質是解本題第一問的關鍵．