Question

設(shè)f（x）=2x³+ax²+bx+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x），若函數(shù)y=f′（x）的圖象關(guān)于直線x=-

1

2

對稱，且函數(shù)f（x）在x=1處取得極值．
（I）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先對f（x）求導(dǎo)，f（x）的導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，由對稱性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b，
（Ⅱ）對f（x）求導(dǎo)，分別令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： （ I）求導(dǎo)得：f'（x）=6x²+2ax+b
依題意有：

- 2a 12 =- 1 2 f′(1)=6+2a+b=0

，
解得：a=3，b=-12
（ II）由（ I）可得：f'（x）=6x²+6x-12=6（x-1）（x+2）
令f'（x）＞0得：x＞1或x＜-2
令f'（x）＜0得：-2＜x＜1
綜上：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，1）

點評：本題考查函數(shù)的對稱性、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，考查運算能力．