Question

（2013•泰安二模）在如圖的多面體中，AD⊥平面ABE，AE⊥AB，EF∥AD，AD∥BC，AE=AB=BC=EF=2，AD=3
（I）求證：BE∥平面ACF；
（II）求證：BF⊥AC；
（III）求二面角C-DF-E的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題意，可證出四邊形BCEF是平行四邊形，得BE∥CF，結(jié)合線(xiàn)面平行判定定理即可證出BE∥平面ACF；
（II）過(guò)D作DH∥AE交AD于H，由AD⊥平面AEB得AD⊥AE，結(jié)合AE⊥AB證出AE⊥平面ABCD，可得FH⊥平面ABCD，從而得到FH⊥AC．再由題中條件證出四邊形ABCH為正方形，得BH⊥AC，從而證出AC⊥平面BFH，可得BF⊥AC；
（III）作HG⊥DF于G，連結(jié)CG，由前面的證明可得CH⊥平面AEFD，由三垂線(xiàn)定理結(jié)合HG⊥DF得到CG⊥DF，可得∠CGH是二面角C-DF-E的平面角．然后在Rt△CHG中，分別算出HG、CG之長(zhǎng)，得到cos∠CGH=

HG

CG

=

6

6

，即得二面角C-DF-E的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵AD∥EF，AD∥BC，∴EF∥BC． 
又∵BC=EF=2，∴四邊形BCEF是平行四邊形，可得BE∥CF．
∵BE?平面ACF，CF?平面ACF，∴BE∥平面ACF；
（Ⅱ）∵AD⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴AD⊥AE，
又∵AE⊥AB，AD∩AD=A，AB、AD?平面ABCD，
∴AE⊥平面ABCD．
平面AEFD內(nèi)，過(guò)D作DH∥AE交AD于H，則FH⊥平面ABCD．
∵AC?平面ABCD，∴FH⊥AC．
連結(jié)CH、BH，則
∵平行四邊形AEFH中，AH=EF=2
∴BC∥AH，BC=AH=2，可得四邊形ABCH平行四邊形，
∵AB=BC=2，∴四邊形ABCH為正方形，可得BH⊥AC
又BH∩FH=H，BH?平面BFH，F(xiàn)H?平面BFH，
∴AC⊥平面BFH，結(jié)合BD?平面BHD，可得BF⊥AC；
（III）作HG⊥DF于G，連結(jié)CG
∵AE⊥平面ABCD，AE?平面AEFD，∴平面ABCD⊥平面AEFD
∵CH⊥AD，平面ABCD∩平面AEFD=AD，CH?平面ABCD
∴CH⊥平面AEFD，可得HG是CG在平面AEFD的射影
∵HG⊥DF，∴CG⊥DF，可得∠CGH是二面角C-DF-E的平面角
∵Rt△DFH中，F(xiàn)H=2，DH=AD-AH=1，
∴DF=

FH2+DH2

=

5

，可得HG=

FH•DH

DF

=

2 5

5

因此，Rt△CHG中，CG=

CH2+HG2

=

2 30

5

∴cos∠CGH=

HG

CG

=

6

6

，即二面角C-DF-E的余弦值為

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的多面體，求證線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)垂直并求二面角的余弦之值，著重考查了空間垂直、平行的位置關(guān)系判斷與證明和二面角大小的求法等知識(shí)，考查了空間想象能力，屬于中檔題．