Question

4．（1）在Rt ABC 中，CA CB，斜邊AB 上的高為 h，則$\frac{1}{{h}^{2}}$ $\frac{1}{C{A}^{2}}$ $\frac{1}{C{B}^{2}}$，類比此性質(zhì)，如圖，在四面體 PABC中，若 PA，PB，PC兩兩垂直，底面ABC上的高為 h，可猜想得到的結(jié)論為$\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{1}{P{A}^{2}}$+$\frac{1}{P{B}^{2}}$+$\frac{1}{P{C}^{2}}$．
（2）證明（1）問中得到的猜想．

Answer 1

分析 立體幾何中的類比推理主要是基本元素之間的類比：平面?空間，點(diǎn)?點(diǎn)或直線，直線?直線或平面，平面圖形?平面圖形或立體圖形，故本題由平面上的直角三角形中的邊與高的關(guān)系式類比立體中兩兩垂直的棱的三棱錐中邊與高的關(guān)系即可．

解答 解：（1）∵在平面上的性質(zhì)，若Rt△ABC的斜邊AB上的高為h，則有 $\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{1}{C{A}^{2}}$+$\frac{1}{C{B}^{2}}$．”
我們類比到空間中，可以類比推斷出：
在四面體P-ABC中，若PA、PB、PC兩兩垂直，底面ABC上的高為h，有：$\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{1}{P{A}^{2}}$+$\frac{1}{P{B}^{2}}$+$\frac{1}{P{C}^{2}}$
（2）∵PA、PB、PC兩兩互相垂直，
∴PA⊥平面PBC．
設(shè)PD在平面PBC內(nèi)部，且PD⊥BC，PA，PB，PC分別為a，b，c，
由已知有：PD=$\frac{bc}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$，h=PO=$\frac{a•PD}{\sqrt{{a}^{2}+P{D}^{2}}}$，
∴h²=$\frac{{a}^{2}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}^{2}+^{2}{c}^{2}+{c}^{2}{a}^{2}}$，即$\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{1}{P{A}^{2}}$+$\frac{1}{P{B}^{2}}$+$\frac{1}{P{C}^{2}}$．

點(diǎn)評 類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對象上去．其思維過程大致是：觀察、比較 聯(lián)想、類推 猜測新的結(jié)論．