Question

16．設函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{7π}{4}）+cos（x-\frac{3π}{4}）$則（　�。�

• A． y=f（x）的最小正周期是π，其圖象關于$x=-\frac{π}{4}$對稱
• B． y=f（x）的最小正周期是2π，其圖象關于$x=\frac{π}{2}$對稱
• C． y=f（x）的最小正周期是π，其圖象關于$x=\frac{π}{2}$對稱
• D． y=f（x）的最小正周期是2π，其圖象關于$x=-\frac{π}{4}$對稱

Answer 1

分析 利用兩角和的正弦與兩角差的余弦可化簡f（x）=2sin（x-$\frac{π}{4}$），再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得其周期與對稱軸方程，從而可得答案．

解答 解：∵$f（x）=sin（x+\frac{7π}{4}）+cos（x-\frac{3π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx）=$\sqrt{2}$（sinx-cosx）=2sin（x-$\frac{π}{4}$），
∴其最小正周期為2π，可排除A、C；
由x-$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：x=kπ+$\frac{3π}{4}$（k∈Z），
∴其對稱軸方程為：x=kπ+$\frac{3π}{4}$（k∈Z），
當k=-1時，其對稱軸方程為：x=-$\frac{π}{4}$，D正確，可排除B；
故選：D．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換及其應用，考查正弦函數(shù)的周期性與對稱性，屬于中檔題．