Question

12．如圖，四邊形ABCD中，△BCD為正三角形，AD=AB=2，BD=2$\sqrt{3}$，AC與BD交于O點(diǎn)．將△ACD沿邊AC折起，使D點(diǎn)至P點(diǎn)，已知PO與平面ABCD所成的角為θ，且P點(diǎn)在平面ABCD內(nèi)的射影落在△ACD內(nèi)．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若θ=$\frac{π}{3}$時(shí)，求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由O為BD的中點(diǎn)，可得AC⊥BD，再由AC⊥PO，利用線面垂直的判定定理，可證AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，與面AOB垂直且向上的方向?yàn)閦軸建空間直角坐標(biāo)系，利用θ=$\frac{π}{3}$，求得所用點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得平面的法向量，可得二面角A-PB-D的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：由題意，O為BD的中點(diǎn)，則AC⊥BD，
又AC⊥PO，BD∩PO=O，
∴AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）解：∵AC⊥面PBD，而AC⊆面ABCD，∴面ABCD⊥面PBD，
則P點(diǎn)在面ABCD上的射影點(diǎn)在交線BD上（即在射線OD上），
∴PO與平面ABCD所成的角θ=∠POD=$\frac{π}{3}$．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，與面AOB垂直且向上的方向?yàn)閦軸建空間直角坐標(biāo)系．
則A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵AC⊥面PBD，∴面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{OA}$=（1，0，0），
設(shè)面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），又$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PB}=（0，\frac{3\sqrt{3}}{2}，-\frac{3}{2}）$
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=\frac{3\sqrt{3}}{2}y-\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，可得x=z=3，故$\overrightarrow{m}=（3，\sqrt{3}，3）$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{3}{1×\sqrt{21}}=\frac{3\sqrt{21}}{21}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角A-PB-D的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．