Question

7．若正方體A₁A₂A₃A₄-B₁B₂B₃B₄的棱長(zhǎng)為1，則集合{x|x=$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{B}_{j}}$，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 $\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{A}_{i}{B}_{j}}$，$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{j}}$，i，j∈{1，2，3，4}，由此能求出集合{x|x=$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{B}_{j}}$，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的個(gè)數(shù)．

解答 解：∵正方體A₁A₂A₃A₄-B₁B₂B₃B₄的棱長(zhǎng)為1，
$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{A}_{i}{B}_{j}}$，$\overrightarrow{{A}_{2}{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{j}}$，i，j∈{1，2，3，4}，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{B}_{j}}$=$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•（$\overrightarrow{{A}_{i}{A}_{1}}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$+$\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{j}}$）
=$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{j}{A}_{1}}$+${\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}}^{2}$+$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}{B}_{j}}$=1．
∴集合{x|x=$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$•$\overrightarrow{{A}_{i}{B}_{j}}$，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的個(gè)數(shù)為1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合中元素個(gè)數(shù)的求法，向量數(shù)量積的應(yīng)用，難度不大，屬于中檔題．