【題目】如圖,在等腰梯形中, ,上底,下底,點(diǎn)為下底的中點(diǎn),現(xiàn)將該梯形中的三角形沿線段折起,形成四棱錐.

(1)在四棱錐中,求證: ;

(2)若平面與平面所成二面角的平面角為,求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】見解析

【解析】試題分析:(1 , 點(diǎn)的中點(diǎn)得三角形沿線段折起后可得四邊形為菱形,邊長為, ,取的中點(diǎn),連接 ,可證, 即可證平面,從而平面,即可得證;(2為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,由(1)可證為平面與平面所成二面角的平面角,從而求出, , , ,再求出平面的一個法向量,即可求出直線與平面所成角的正弦值.

試題解析:(1)證明:由三角形沿線段折起前 , 點(diǎn)的中點(diǎn)得三角形沿線段折起后四邊形為菱形,邊長為 ,如圖,

的中點(diǎn),連接 , ,

由題得均為正三角形

,

平面,

平面,

平面,

(2)解:以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,

平面軸在平面內(nèi)

1

為平面與平面所成二面角的平面角,

,

得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)的豎坐標(biāo)為,

, , ,

, , ,

設(shè)平面的一個法向量為,

, 平面的一個法向量為,

直線與平面所成角為銳角或直角,

直線與平面所成角的正弦值為

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知等比數(shù)列中, , 成等差數(shù)列;數(shù)列中的前項(xiàng)和為, .

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,an+1 (n∈N*).

(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;

(2)設(shè)bn,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了治理大氣污染,某市2017年初采用了一系列措施,比如“煤改電”,“煤改氣”,“國Ⅰ,Ⅱ輕型汽油車限行”,“整治散亂污染企業(yè)”等.下表是該市2016年和2017年12月份的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)(AQI指數(shù)越小,空氣質(zhì)量越好)統(tǒng)計(jì)表.

表1:2016年12月AQI指數(shù)表:單位(

日期

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

AQI

47

123

232

291

78

103

159

132

37

67

204

日期

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

AQI

270

78

40

51

135

229

270

265

409

429

151

日期

23

24

25

26

27

28

29

30

31

AQI

47

155

191

64

54

85

75

249

329

表2:2017年12月AQI指數(shù)表:單位(

日期

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

AQI

91

187

79

28

44

49

27

41

56

43

28

日期

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

AQI

28

49

94

62

40

46

48

55

44

74

62

日期

23

24

25

26

27

28

29

30

31

AQI

50

50

46

41

101

140

221

157

55

根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答下列問題

(Ⅰ)求出2017年12月的空氣質(zhì)量指數(shù)的極差;

)根據(jù)《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)技術(shù)規(guī)定(試行)》規(guī)定:當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)為050時(shí),空氣質(zhì)量級別為一級.從2017年12月12日到12月16這五天中,隨機(jī)抽取三天,空氣質(zhì)量級別為一級的天數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(Ⅲ)你認(rèn)為該市2017年初開始采取的這些大氣污染治理措施是否有效?結(jié)合數(shù)據(jù)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,橢圓的離心率為,過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長為.

(1)求橢圓和拋物線的方程;

(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,證明:直線恒過一定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某市政府為了引導(dǎo)居民合理用水,決定全面實(shí)施階梯水價(jià),階梯水價(jià)原則上以住宅(一套住宅為一戶)的月用水量為基準(zhǔn)定價(jià):若用水量不超過12噸時(shí),按4元/噸計(jì)算水費(fèi);若用水量超過12噸且不超過14噸時(shí),超過12噸部分按6.60元/噸計(jì)算水費(fèi);若用水量超過14噸時(shí),超過14噸部分按7.8元/噸計(jì)算水費(fèi).為了了解全市居民月用水量的分布情況,通過抽樣,獲得了100戶居民的月用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成8組,制成了如圖1所示的頻率分布直方圖.

(Ⅰ)假設(shè)用抽到的100戶居民月用水量作為樣本估計(jì)全市的居民用水情況.

(。┈F(xiàn)從全市居民中依次隨機(jī)抽取5戶,求這5戶居民恰好3戶居民的月用水量都超過12噸的概率;

(ⅱ)試估計(jì)全市居民用水價(jià)格的期望(精確到0.01);

(Ⅱ)如圖2是該市居民李某2016年1~6月份的月用水費(fèi)(元)與月份的散點(diǎn)圖其擬合的線性回歸方程是.若李某201617月份水費(fèi)總支出為294.6元,試估計(jì)李某7月份的用水噸數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校初三年級有名學(xué)生,隨機(jī)抽查了名學(xué)生,測試分鐘仰臥起坐的成績(次數(shù)),將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.用樣本估計(jì)總體,下列結(jié)論正確的是( )

A. 該校初三年級學(xué)生分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為

B. 該校初三年級學(xué)生分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為

C. 該校初三年級學(xué)生分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過次的人數(shù)約有

D. 該校初三年級學(xué)生分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于次的人數(shù)約為人.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某次有600人參加的數(shù)學(xué)測試,其成績的頻數(shù)分布表如圖所示,規(guī)定85分及其以上為優(yōu)秀.

區(qū)間

[75,80)

[80,85)

[85,90)

[90,95)

[95,100]

人數(shù)

36

114

244

156

50

(Ⅰ)現(xiàn)用分層抽樣的方法從這600人中抽取20人進(jìn)行成績分析,求其中成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生人數(shù);

(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽取的20名學(xué)生中,要隨機(jī)選取2名學(xué)生參加活動,記“其中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)”為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在四棱錐中,底面是直角梯形, , 平面平面

Ⅰ)求證: 平面

Ⅱ)求平面和平面所成二面角(小于)的大。

Ⅲ)在棱上是否存在點(diǎn)使得平面?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

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