Question

17．已知函數(shù)f（x）=lnx．
（1）若曲線g（x）=f（x）+$\frac{a}{x}$-1在點（2，g （2））處的切線與直線x+2y-1=0平行，求實數(shù)a的值．
（2）若h（x）=f（x）-$\frac{b（x-1）}{x+1}$在定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍．
（3）設(shè)m、n∈R^*，且m≠n，求證：$\frac{m-n}{m+n}＜|\frac{lnm-lnn}{2}$|．

Answer 1

分析 （1）求出解析式與導(dǎo)數(shù)，求出直線的斜率，利用導(dǎo)數(shù)值，求解即可．
（2）利用$h（x）=lnx-\frac{b（x-1）}{x+1}$求出導(dǎo)函數(shù)，通過h′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，得到$b＜\frac{{{x^2}+2x+1}}{2x}$，利用基本不等式求解最值．
（3）不妨設(shè)m＞n＞0，利用分析法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 （1）解：$g（x）=lnx+\frac{a}{x}-1$，$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}$（2分）
g （x）在點（2，g （2））處的切線與直線x+2y-1=0平行，
∴$g'（2）=\frac{1}{2}-\frac{a}{4}=-\frac{1}{2}⇒a=4$（4分）
（2）證：由$h（x）=lnx-\frac{b（x-1）}{x+1}$得：$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{b（x+1）-b（x-1）}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{{{x^2}+2（1-b）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}$
∵h（x） 在定義域上是增函數(shù)，∴h′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立
∴x²+2（1-b）x+1＞0，即$b＜\frac{{{x^2}+2x+1}}{2x}$恒成立（6分）
∵$\frac{{{x^2}+2x+1}}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}+1≥2\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{1}{2x}}+1=2$
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{2}=\frac{1}{2x}，x=\frac{1}{2}$時，等號成立
∴b≤2，即b的取值范圍是（-∞，2]（8分）
（3）證：不妨設(shè)m＞n＞0，則$\frac{m}{n}＞1$
要證$\frac{m-n}{m+n}＜|\frac{lnm-lnn}{2}|$，即證$\frac{m-n}{m+n}＜\frac{lnm-lnn}{2}$，即$\frac{{2（\frac{m}{n}-1）}}{{\frac{m}{n}+1}}＜ln\frac{m}{n}$（10分）
設(shè)$h（x）=lnx-\frac{2（x-1）}{x+1}（x＞1）$
由（2）知h （x）在（1，+∞）上遞增，∴h （x）＞h （1）=0
故$ln\frac{m}{n}-\frac{{2（\frac{m}{n}-1）}}{{\frac{m}{n}+1}}＞0$，∴$\frac{m-n}{m+n}＜|\frac{lnm-lnn}{2}|$成立（12分）

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，分析法證明不等式以及基本不等式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．