Question

20．如圖1，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，沿BE將△ABE折起至△PBE，如圖2所示，點(diǎn)P在面BCDE的射影O落在BE上．

（Ⅰ）求證：BP⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）點(diǎn)P在平面BCDE的射影O落在BE上，證明CE⊥平面PBE，推出PB⊥CE．
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)O且平行于CD的直線為x軸，過點(diǎn)O且平行于BC的直線為y軸，直線PO為z軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系．求出平面PCD的法向量，平面PBC的法向量利用空間向量的數(shù)量積求解二面角B-PC-D的余弦值即可．

解答 解：（Ⅰ）由條件，點(diǎn)P在平面BCDE的射影O落在BE上，
∴平面PBE⊥平面BCDE，易知BE⊥CE，
∴CE⊥平面PBE，而BP?平面PBE，
∴PB⊥CE．
（Ⅱ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過點(diǎn)O且平行于CD的直線為x軸，過點(diǎn)O且平行于BC的直線為y軸，直線PO為z軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系．

則$B（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0}）$，$C（{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，0}）$，$D（{-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}，0}）$，$P（{0，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{η_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{η_1}•\overrightarrow{CD}=0\\ \overrightarrow{η_1}•\overrightarrow{CP}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=0\\ 3{y_1}-\sqrt{2}{z_1}=0\end{array}\right.$，令${z_1}=\sqrt{2}$，可得$\overrightarrow{η_1}=（{0，\frac{2}{3}，\sqrt{2}}）$
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{η_2}=（{{x_2}，{y_2}，{z_2}}）$
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{η_2}•\overrightarrow{PB}=0\\ \overrightarrow{η_2}•\overrightarrow{BC}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x_2}-{y_2}--\sqrt{2}{z_2}=0\\{y_2}=0\end{array}\right.$，令${z_2}=\sqrt{2}$，可得$\overrightarrow{η_2}=（{2，0，\sqrt{2}}）$∴$cos（{\overrightarrow{η_1}，\overrightarrow{η_2}}）=\frac{{\overrightarrow{η_1}•\overrightarrow{η_2}}}{{|{\overrightarrow{η_1}}|•|{\overrightarrow{η_2}}|}}=\frac{{\sqrt{33}}}{11}$
考慮到二面角B-PC-D為鈍二面角，則二面角B-PC-D的余弦值為$-\frac{{\sqrt{33}}}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平常垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．