Question

4．如圖，矩形ABCD的邊AB在x軸上，頂點C，D在函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}（{x＞0}）$的圖象上．記AB=m，BC=n，則$\frac{m}{n^2}$的最大值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把C，D的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得到x₁x₂=1，再代入$\frac{m}{n^2}$，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)求最值．

解答 解：設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵y₁=y₂，${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}={x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}$，x₁≠x₂，
∴x₁x₂=1．
∴$\frac{m}{n^2}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}）^{2}}=\frac{{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}}{（{x}_{2}+\frac{1}{{x}_{2}}）^{2}}=\frac{t}{{t}^{2}+4}$$≤\frac{1}{4}$，$t={x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}＞0$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=2時成立．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查對勾函數(shù)，考查了函數(shù)值域的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．