已知四棱錐的底面為直角梯形，，底面，且，，是的中點(diǎn)．

（1）證明：面面；
（2）求與所成的角的余弦值；
（3）求二面角的正弦值．
（1）見解析   (2) ;（3）．
試題分析：以為坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，從而由已知可得各點(diǎn)坐標(biāo)．
(1)注意到四棱錐的底面為直角梯形，，,所以,應(yīng)用空間向量的數(shù)量積可證,從而有DCPA,由于與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面．又在面內(nèi)，故面⊥面; (2)寫出向量的空間坐標(biāo),然后利用公式:可求出所求兩直線所成角的余弦值; （3）先求分別出二面角的兩個(gè)面: 平面ACB和平面MAC的一個(gè)法向量,從而就可求出二面角的余弦值,進(jìn)而就可求出其正弦值．
試題解析：
以為坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為．

（1）證明：因
由題設(shè)知，且與是平面內(nèi)的兩條相交直線，由此得面．又在面內(nèi)，故面⊥面 
（2）解：因故，所以
所以，AC與PC所成角的余弦值為 
（3）解：易知平面ACB的一個(gè)法向量
設(shè)平面MAC的一個(gè)法向量則，不妨取 
設(shè)二面角的平面角為則，
則
所以 
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題共14分）
正方體的棱長(zhǎng)為，是與的交點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且．（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知側(cè)棱垂直于底面的四棱柱,ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且AD="A" A1，
點(diǎn)F為棱BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AC1的中點(diǎn).
(1)求證： MF∥平面ABCD
(2)求證：平面AFC1⊥平面ACC1A1

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，，平面，,分別為,的中點(diǎn).
（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面，，，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，其重心為點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，且．

（1）求證：側(cè)面；
（2）求平面與底面所成銳二面角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

(本小題滿分12分)
如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，.

（Ⅰ）證明：;
（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，且，
，，，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示,PD⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為正方形,AB=2,E是PB的中點(diǎn),
cos〈,〉=.
(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系,寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)F,使EF⊥平面PCB.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是
A．
B．平面平面
C．的最大值為
D．的最小值為

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