Question

曲線C是平面內(nèi)到定點A（1，0）的距離與到定直線x=-1的距離之和為3的動點P的軌跡．則曲線C與y軸交點的坐標是    ；又已知點B（a，1）（a為常數(shù)），那么|PB|+|PA|的最小值d（a）=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）設動點P（x，y），由題意可得．對x分類討論：①當x＜-4時，由|x+1|＞3，無軌跡；②當-4≤x≤-1時，化為，化為，與y軸無交點；③當x＞-1時，化為，化為y²=-2x+3，，令x=0即可得出y．
（2）利用（1）畫出圖象，分類討論求出即可．
解答：解：（1）設動點P（x，y），由題意可得，
①當x＜-4時，∵|x+1|＞3，無軌跡；
②當-4≤x≤-1時，化為，化為，與y軸無交點；
③當x＞-1時，化為，化為y²=-2x+3，．
令x=0，解得．
綜上①②③可知：曲線C與y軸的交點為；
（2）由（1）可知：．
如圖所示，令y=1，則10x+15=1，或-2x+3=1，
解得x=-1.4或1．
①當a≤-1.4或a≥1時，|PA|+|PB|≥|AB|，∴d（a）=|AB|=；
②當-1＜a＜1時，當直線y=1與相交時的交點P滿足|PA|+|PB|取得最小值，
∵此拋物線的準線為x=2，∴直線y=1與準線的交點Q（2，1），此時d（a）=|QB|=2-a；
③當-1.4＜a≤-1時，當直線y=1與相交時的交點P滿足|PA|+|PB取得最小值，
∵此拋物線的準線為x=-4，∴直線y=1與準線的交點Q（-4，1），此時d（a）=|QB|=a+4．
綜上可知：d（a）=
點評：本題綜合考查了拋物線的定義、方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、兩點間的距離公式等基礎知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力．