Question

若函數(shù)f（x）=2lnx+ae^x在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，使導(dǎo)函數(shù)在[1，+∞）上恒小于等于0，列式求解a的范圍．

解答： 解：由函數(shù)f（x）=2lnx+ae^x，（x＞0）
則f′（x）=

2

x

+ae^x=

2+axex

x

，
令g（x）=axe^x+2，因?yàn)閒（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，
所以，f′（x）在[1，+∞）上小于等于0恒成立，
則g（x）=axe^x+2在[e，+∞）上小于等于0恒成立，
即 axe^x+2≤0，所以a≤-

2

xex

．因?yàn)閥=-

2

xex

在x∈[1，+∞）是增函數(shù)，所以a≤-

2

e

．
故答案為：（-∞，-

2

e

]．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系．考查了在某一區(qū)間內(nèi)不等式恒成立的問題，此題屬中檔題．