Question

已知數(shù)列{a_n}滿足

an

an+2

=

1

2

a_n+1（n∈N₊），a₁=1
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n表示數(shù)列{a_n}在區(qū)間（（

1

2

）ⁿ，（

1

2

）^n-1]上的項的個數(shù)，試求數(shù)列{

bn

an

}的前n項和S_n，并求關(guān)于n的不等式S_n＜2013最大正整數(shù)解．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由

an

an+2

=

1

2

a_n+1，得

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，即可證數(shù)列{

1

an

}是首項為1，公差為

1

2

等差數(shù)列；
（2）解：由（1）求得an=

2

n+1

，結(jié)合a2n-1=

2

2n-1+1

=(

1

2

)n-1，a2n+1-1=

2

2n+1-1+1

=(

1

2

)n可得bn=2n，則

bn

an

=

n+1

2

•2n=(n+1)•2n．
然后利用錯位相減法求得Sn=n•2n再由Sn=n•2n是關(guān)于n的增函數(shù)求得關(guān)于n的不等式S_n＜2013最大正整數(shù)解n=7．

解答： （1）證明：由

an

an+2

=

1

2

a_n+1，得

2

an

+1=

2

an+1

，∴

2

an+1

-

2

an

=1，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
則數(shù)列{

1

an

}是首項為1，公差為

1

2

等差數(shù)列；
（2）解：由（1）知，

1

an

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，∴an=

2

n+1

．
∴a2n-1=

2

2n-1+1

=(

1

2

)n-1，a2n+1-1=

2

2n+1-1+1

=(

1

2

)n，
由(

1

2

)n＜ak≤(

1

2

)n-1，即a2n+1-1＜ak≤a2n-1，
∵數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，∴2ⁿ-1≤k＜2ⁿ⁺¹-1，
k的正整數(shù)解有（2ⁿ⁺¹-1）-（2ⁿ-1）=2ⁿ個，即bn=2n．
∴

bn

an

=

n+1

2

•2n=(n+1)•2n．
則Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2ⁿ．
2Sn=2•22+3•23+4•24+…+(n+1)•2n+1．
兩式作差得：-Sn=4+(22+23+…+2n)-(n+1)•2n+1=4+

4(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n+1，
∴Sn=n•2n．
∵Sn=n•2n是關(guān)于n的增函數(shù)，
且S7=7×27=896＜2013，S8=8×28=2048＞2013，
∴關(guān)于n的不等式S_n＜2013最大正整數(shù)解n=7．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，由區(qū)間（（

1

2

）ⁿ，（

1

2

）^n-1]上的項的個數(shù)求解b_n是解答該題的關(guān)鍵，是有一定難度題目．