Question

已知3sinβ=sin（2α+β），求證：tan（α+β）=2tanα.

Answer 1

思路分析：觀察條件等式和結(jié)論等式中的角，條件中含有β、2α+β，結(jié)論中含有α+β?、α，若從條件入手，可采用角的變換，β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α，展開后轉(zhuǎn)化成齊次整式，約分得出結(jié)論.

證明：∵3sinβ=3sin［（α+β）-α］

=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα，

sin（2α+β）=sin［（α+β）+α］

=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，

又3sinβ=sin（2α+β），

∴3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα

=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα.

∴2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα.

∴tan（α+β）=2tanα.

方法歸納 對條件恒等式的證明，若條件復(fù)雜，可從化簡條件入手得出結(jié)論；若結(jié)論復(fù)雜，可化簡結(jié)論，用上述條件；若條件和結(jié)論都較為復(fù)雜，可同時(shí)化簡它們，直到找到它們間的聯(lián)系.

深化升華 三角恒等式的證明實(shí)質(zhì)就是由一種結(jié)構(gòu)形式轉(zhuǎn)化為另一種結(jié)構(gòu)形式.因此證明恒等式的基本思路是：證明等式時(shí)必須仔細(xì)觀察等式兩邊結(jié)構(gòu)上的差異，然后分析這些差異和聯(lián)系，最后從解決差異入手，施行適當(dāng)?shù)淖儞Q，直至消除這些差異完成恒等式的證明.