Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）若恒成立，證明：當時，.

Answer 1

（Ⅰ）當時，在上遞增；當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；（Ⅱ）證明過程詳見解析.

試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等數(shù)學知識和方法，突出考查分類討論思想和綜合分析問題和解決問題的能力.第一問是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，但是題中有參數(shù)，需對參數(shù)進行討論，可以轉(zhuǎn)化為含參一元一次不等式的解法；第二問先是恒成立問題，通過第一問的單調(diào)性對進行討論，通過求函數(shù)的最大值求出符合題意的，表達式確定后，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，作差，放縮法證明不等式.
試題解析：（Ⅰ）．
若，，在上遞增；
若，當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減．                  5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若，在上遞增，
又，故不恒成立．
若，當時，遞減，，不合題意．
若，當時，遞增，，不合題意．
若，在上遞增，在上遞減，
符合題意，
故，且（當且僅當時取“”）．              8分
當時，
，
所以．                     12分