Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，S₃=21，a₃=12
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）利用S₃=21，a₃=12，建立方程組，求出公比與首項(xiàng)，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（1）設(shè)首項(xiàng)a₁，公比q，由已知q≠1，

a1(1-q3) 1-q =21 a1q2=12

，∴q=2(q=-

2

3

舍去），a₁=3，
∴an=3×2n-1
（2 ）nan=3n×2n-1，設(shè)其前n項(xiàng)和為T_n．
∴T_n=3（1×2⁰+2×2¹+…+n×2^n-1）①
∴2T_n=3（1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ）②
①-②可得：-T_n=3（2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ）=3（

1-2n

1-2

-n×2ⁿ）
∴T_n=3-3×2ⁿ+3n×2ⁿ．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．