Question

已知下列兩個(gè)命題：
p：?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立；q：y=log_a（x²-ax+1）（a＞0，a≠1）有最小值．若兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

a=2或a≤1

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)恒成立的等價(jià)條件及基本不等式，我們可以求出P為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的最值，我們可以求出Q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍；根據(jù)兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，我們分P真Q假和P假Q(mào)真，兩種情況討論，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：p：?x∈R⁺，不等式x≥a

x

-1恒成立；
即a≤

x+1

x

=

x

+

1

x

恒成立；
由于

x

+

1

x

的最小值為2，
故P為真命題時(shí)，a≤2
q：y=log_a（x²-ax+1）（a＞0，a≠1）有最小值．
表示以a為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，且x²-ax+1＞0恒成立
即

a＞1 a2-4＜0

，解得1＜a＜2
故Q為真命題時(shí)，1＜a＜2
∵兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，
當(dāng)P真Q假時(shí)，a=2或a≤1
當(dāng)P假Q(mào)真時(shí)，這樣的a值不存在
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a=2或a≤1
故答案為：a=2或a≤1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)合命題的真假，全稱命題，二次函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值，函數(shù)恒成立問題，基本不等式在求最值時(shí)的應(yīng)用，其中分別求出命題P和命題Q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，是解答本題的關(guān)鍵．