Question

已知下列兩個命題：p：?x∈[0，+∞），不等式ax≥

x

-1恒成立；q：1是關(guān)于x的不等式（x-a）（x-a-1）≤0的一個解．若兩個命題中有且只有一個是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：兩個命題中有且只有一個是真命題，則需要對p、q的誰真誰假分情況討論．對于命題p可以利用分參思想轉(zhuǎn)化為恒成立問題．對于命題q知道該表達式的一個解，直接代入就可求出q．

解答：解：命題p：當x=0時，有0≥-1，顯然成立．即a∈R．
當x＞0時，有a≥

x -1

x

= 

1

x

-

1

x

恒成立．
令f（x）=

1

x

-

1

x

，則f（x）=-（

1

x

-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，即f（x）_max=

1

4

∴命題 p：當x=0時，a∈R；   當x＞0時，a≥

1

4

．
命題q：∵1是關(guān)于x的不等式（x-a）（x-a-1）≤0的一個解，
∴-a（1-a）≤0
∴a（a-1）≤0，解得：0≤a≤1
即，命題q：0≤a≤1
∵兩個命題中有且只有一個是真命題，
綜上所述，當p真q假時，實數(shù)a的取值范圍為a＞1
當p假q真時，實數(shù)a的取值范圍[0，

1

4

）

點評：命題p∧q和pVq真假的判定依據(jù)：
命題p、q中只要有一個是假命題，那么p∧q就是假命題；
命題p、q中只要有一個是真命題，那么pVq就是真命題．